Взвешенные очки. Почему и что?
Вернутся назад
Начнем с самого начала. Две команды набрали одинаковое количество очков. Они равны по силе? С большой степенью вероятности ответ на этот вопрос будет отрицательным, т.к. очки обе команды "отбирали" у разных команд по-разному. Очень грубый пример: команда "А" победила 5 соперников из нижней части таблицы, а "В" такое же количество команд из верхней части. Место в турнирной таблицы у этих команд одинаковое. Подспудно мы чувствуем, что в данном случае система выявления сильнейшего при помощи набранных очков не работает, вернее работает несправедливо. Очевидно, также, что в общем случае даже успех в личных встречах, с точки зрения турнирной стратегии, не должен быть достаточно достоверным сигналом, говорящем о превосходстве одного клуба над другим. Это может быть случайность, негативный долговременный психологический фактор (команда "А" всегда проигрывает команде "В" в любых турнирах и в любом состоянии), просто неудачный день для одной из команд или любое другое случайное событие. Мы уважаем себя, а потому не можем играть предположениями и позволять водить нас за нос. Нужен точный инструмент, уж, по крайней мере, более точный, чем количество набранных очков. При разработке этого рейтинга (условно более "честного" метода выявления сильнейшего) мне также хотелось достичь привычной наглядности, ведь все мы привыкли рассуждать в рамках существующей системы очков. Перейдем к постановке задачи "а как нам правильно оценить турнирную силу команд". Вначале все будет как в большинстве рейтингов (система Эло, Е-рейтинг и т.п.) Команда выиграла у другой команды, а значит она забрала у нее всю её силу и ничего не дала в замен. Команда довольствовалась ничейным результатом в игре с другой командой - значит, отдала этой команде половину своей силы и забрала половину чужой. Вопрос, а как определить эту силу. Наиболее естественный подход - по показателям команд. Поскольку метод использует некие весовые коэффициенты, то естественно он был назван методом "взвешенных очков". Существует 2 способа взвешивания.
Способ №1. Для выявления сильнейшего для каждой команды будем суммировать очки всех соперников, у которых она выиграла + половину очков соперников, с которыми данная команда сыграла в ничью. При такой системе мы в рамках действующей системы сможем повысить ее точность и "обмануть" ее. Из этого простого изложения метода "взвешенных очков" становится понятно, что если интересующая команда выиграла у условного Манчестера Юнайтед, который лидирует в чемпионате, то она сумела получить много больше, чем от победы над записным аутсайдером. Математически это выглядит так: Вычисляем ВО-оценку силы команд. ВО оценка= ∑Очков побежденные + ½∑ Очков ничьи Найдем весовой коэффициент привидения Kвес=(∑очков всех команд чемпионата)/(∑ВО оценки набранных очков всех команд чемпионата) Собственно силу команды (RtВзвешенные очки) находятся делением ВО оценки набранных очков каждой команды на коэффициент привидения (весовой коэффициент) K. RtВзвешенные очки i-й команды =(∑ ВО оценки i-й команды) / K Так мы получаем оценку силы команды в привычном виде набранных очков скорректированных на силу команд в поединках, с которыми эти очки были набраны. Если теперь, для следующего шага вычисления ВОоценки, использовать вновь рассчитанные взвешенные очки, и устроить итерации (повторные вычисления), то значение рейтинга можно попробовать уточнить. (Процесс сходится при числе итераций около 12-ти.). Следует отметить, что если в чемпионате есть команды, которые не потеряли еще очков, или сыграно очень мало туров, то применять итерации бессмысленно, ее просто нельзя - система решения будет неустойчива (система будет расходиться). В этом случае необходимо проводить расчет за один шаг и помнить о приближенности полученных оценок силы команд.
Способ №2. Идея та же, только мы углубляемся на один уровень. Суммирование происходит не очков соперников, которую победила условная команда, а подсчитываются очки команд, у которых одержал побуды соперник, у которой условная команда выиграла. Если команда А победила команду В, то мы суммируем все очки команд, которых команда В победила и добавляем половину всех очков команд, с которыми команда В сыграл в ничью. Подобную операцию производим и с командами, с которыми команда В сыграла в ничью, только уменьшаем сумму в 2 раза. Итоговый результат, полученный по способу 2 получается абсолютно идентичный способу 1, только количество вычислений на каждом шаге по сравнению со способом 1 возрастает значительно, однако итерации сходятся очень быстро, буквально за 3-4 шага. Способ 2 предпочтительнее способа 1 при расчете ВО-очков за одну итерацию. Свойства рейтинга ВОочки. ВОрейтинг относится к турнирным рейтингам, т.е. он говорит о силе команды за определенный промежуток времени (за турнир), а никак не о конкретной силе команды на данное время. Для оценки текущей силы команды используйте рейтинг Эло (не интегральный, а именно обычный, мгновенный рейтинг Эло. Для этого в программном модуле Football rating V1. при расчете Эло-рейтинга устанавливайте количество итераций равными 1). Как и любой рейтинг на начальном этапе турнира (при малом количестве встреч) ВОрейтинг дает искаженный результат, но имеет и неоспоримое преимущество - он считается вне зависимости от заполнения матрицы результатов. Отношение рейтинга команды А к рейтингу команды В примерно (≈) равно отношению количества побед команды А над командой В к количеству побед команды В над командой А в серии из нескольких игр на нейтральном поле. Например ВОA / ВОB =83.31/47,11=1,77 Предположим, что команда А и команда В играют на нейтральном поле. Каждая игра идет до победы. Ничьих не бывает. Это значит, что в серии из 10 игр на победу примерно в 6,4 случаях выиграет команда А, а в 3,6 случаях победа будет на стороне команды В. Не лишне сказать, что оценка, полученная приведенным способом достаточно приближенная. К тому же, обратите внимание, что условная сила соперников определена не на дату встреч команд А и В, а за весь предшествующий этому период, за который вычислялся рейтинг, а это может быть, к примеру, 20 игр. Конечно за этот период команды испытывали и спады, и подъемы, так что усредненный подход может вносить существенные коррективы в полученную оценку. Например в целом турнир команда А проводит сильно, но последние 3 игры свидетельствуют о потере формы, а команда В, напротив, в последних играх показала, что явно нащупала свою игру. Рейтинг ВОочков оперирует в привычной схеме набранных очков. Поэтому его легко можно использовать для различных анализов, проводимых при помощи системы набранных очков. Побочный продукт вышеописанного ВОрейтинга - это ВО-75 рейтинг.
Примерная градация команд
в рамках рейтинга ВО-75
| Характеристика |
ВО-75 рейтинга (cлабый чемпионат) |
ВО-75 рейтинга (cильный чемпионат) |
| Борьба за чемпионство |
>100 (обычно 105-115) |
>95 |
| Борьба за бронзу |
85-90 |
90-95 |
| Борьба за бронзу, но без медалей |
65-70 |
70-85 |
| Крепкий середняк |
50-65 |
60-70 |
| Аутсайдер |
45-50 |
45-55 |
| Борьба за выживание |
<40 |
<40 |
| Вылет из лиги |
<30 |
<30 |
ВО-75 рейтинг - это попытка оценки силы команды по ее близости к 75 % рубежу набранных очков в системе "взвешенных очков". К примеру наша условная команда провела 12 игр. В рамках системы "3-1-0" (3 очка за победу, 1 очка за ничейный результат, 0 - за поражение) команда могла максимум набрать 12*3=36 очков. В рамках ВО-очков мы определили, что команда набрала 22,85 "взвешенных очков". Мы можем рассчитать, что 75% от максимально возможных 36 очков составляют 27 очков (36*0,75=27). Тогда ВО-75 рейтинг=22,85/27*100=84,63. В нашем случае ВО-75=84,63 указывают на достаточно проблематичную борьбу за бронзовые медали. Сильный чемпион (или сильные призеры) уменьшают рейтинги оставшейся части участников соревнования, а "слабые" аутсайдеры - повышают. Поэтому ВО-75 рейтинг носит достаточно условный, но очень наглядный характер. Он дает нам возможность комплексно оценивать силу чемпионата и говорить о накале борьбы в нем. В целях анализа, с некоторой осторожностью, можно проводить сравнение чемпионатов (но никак не чемпионов!) между собой.
Оба варианта расчета RtВзвешенные очки реализованы в програмном модуле Football rating V1.02.